ganz zu erst würde ich noch mal abwarten. 1 Woche ist echt nicht lang. Und dann weiter (vielleicht mit ansteigender penetranz) im Kontakt bleiben und sehen ob er nicht doch irgendwann in absehbarer Zeit von selbst in die Puschen kommt.

Wenn nicht, dann würde ich mit einem Mieterverein in deiner Nähe sprechen, und von dort ein erstes feedback über die rechtliche Situation einzuholen und wie man da weiter vorgehen sollte.

Ich denke von da an wirst du das Ganze weiter mit dem Mieterverein regeln, und über diesen weiter eskalieren lassen. Was konkret Anwalt dann Klage wäre. Anspruch aus §536 BGB evtl.?

Oder evtl. Mietminderung?

Wenn man die Wohnung wegen eines Mangels nicht mehr in der Weise wie zuvor mit dem Vermieter vereinbart nutzen kann, kann die Möglichkeit zur Mietminderung bestehen. Es kommt dabei darauf an, welche Art von Mietmangel vorliegt, wie stark die Beeinträchtigung des Mieters ist und wie lange die Dauer des Mietmangels ist. Typische Mietmängel sind z.B. undichte Fenster, laute Nachbarn, dröhnender Baulärm, defekte Elektrik, Ungeziefer, Schimmelbefall, Wasserschaden, defekte Heizung, undichte Fenster und Türen, Probleme mit Balkon und Terrasse.

Ansonsten ist es hilfreich Fristen zu setzen. Also zB "...nach Ablauf der angegebenen Frist, sehe ich mich gezwungen einen Anwalt einzuschalten um eine Mietminderung überprüfen zu lassen"

Angemessen sollte sie schon sein. Ich kenne jetzt die Situation am Haus nicht, aber innerhalb von 7 Tagen eine komplette Reparatur zu fordern ist vermutlich zu viel verlangt.

Und was du da verlinkt hast, ist nicht passend. Was willst du vom Vermieter? Dass er die Regenrinne repariert. Bei dem Anspruch geht es um Unterlassen. Aber was soll er denn Unterlassen? Von ihm geht der Lärm nicht aus, er tut nur nichts dagegen. Er soll quasi das Unterlassen unterlassen ...