Are non-native speakers allowed here? Here's what I'd do with your letter:

Gentile ...,

Mi permetto di contattarLa per chiedere alcune informazioni relative ai vostri servizi. Sono .... e frequento il corso di italiano presso l'Università per Stranieri di Siena.

Abbiamo deciso di organizzare un ballo per la conclusione del corso e dal vostro sito web risulta che siete specializzati nell'organizzazione di questo tipo di eventi. Non sono riuscito a trovare però informazioni precise sulla disponibilità/prezzi della sala di ballo, offerta cibi e sim. Inoltre, vorrei sapere se fosse possibile far suonare una decina di canzoni di musica leggera che abbiamo imparato nell'ambito del corso.

Il corso termina a fine aprile e vorremmo prenotare sia per l'ultimo sabato di aprile sia per il primo sabato di maggio.

Rimango in attesa di una Sua gentile risposta,

...

Your Italian is decent (few are the "actual mistakes" - most of what I'd object to are grammatically sound formulations, but that come across as a bit awkward), but bureacratic/correspondence Italian is nearly a language of its own. It has a certain layer of, shall we call it, "pretention". That's why I actually rewrote, rather than merely corrected what you wrote - I wanted to show you what kind of overall effect you want to obtain (while keeping in mind the context/level, not making it too "pretentious").

The first thing that drew my attention was that you needed to adapt your lexical choices. Un corso termina, o magari si conclude... finisce is something I'd say rather than write. Even when you finish something, say a project, non lo finisci... lo porti a compimento or something. When you do something, non lo fai... lo effettui... un progetto lo realizzi and so on. Le informazioni su qualcosa is also quite colloquial - you'd write something like relative a qualcosa. Pay attention to some fixed expressions that are fairly common in more formal writing, for example I put "mi permetto di..." (which is how you frequently open your writing or talk, or especially if you're about to say something on a critical note, e.g. "mi permetto di dissentire") or "nell'ambito di".

I repeat that I'm not actually a native speaker, but since there are no responses thus far, I thought I'd give it a shot.